Percentá

Samotné slovo pochádza z latinského „per centum“, čo doslova znamená „zo sto“. Ak má napríklad telefón batériu nabitú na 45 %, znamená to, že ak by sme celú kapacitu rozdelili na 100 rovnakých dielikov, 45 z nich je plných. V matematike to môžeme zapísať ako zlomok 45/100 alebo desatinné číslo 0.45.

Percentá slúžia na rýchle a prehľadné porovnávanie údajov rôznych veľkostí – či už ide o zľavy v obchodoch, úspešnosť v testoch, štatistiky alebo úroky v banke. Základné pravidlo, od ktorého sa všetko odvíja, znie: celok vždy zodpovedá hodnote 100%.

Keďže všetky doteraz publikované články z matematiky slúžia na prípravu na prijímačky, je najlepšie, ak si túto aktuálnu tému rozoberieme na troch konkrétnych typoch úloh, s ktorými sa tam môžeš stretnúť.

1. Výpočet časti z celku: Ako zistiť presnú hodnotu, ak poznáme percentá a celok (napríklad: Koľko je 20 % z 500 eur?).
2. Výpočet počtu percent: Ako zistiť percentuálny podiel, ak poznáme časť a celok (napríklad: Koľko percent tvorí 15 správnych odpovedí z celkového počtu 20?).
3. Výpočet celku z jeho časti: Ako zistiť pôvodnú sumu, ak poznáme len časť (napríklad: Koľko žiakov je v celej škole, ak vieme, že 30 % z nich predstavuje presne 60 žiakov?).

1. Výpočet časti z celku.

V obchode si chceš kúpiť hru, ktorá bežne stojí 40 eur. Dnes na ňu ale ponúkajú zľavu 20 %. Tvojou úlohou je zistiť, akú hodnotu v eurách predstavuje tých 20 % (čo je tvoja zľava).

Základom pri takýchto typoch úloh je najskôr si ujasniť, čo tvorí náš celok. V tomto prípade je to pôvodná cena, takže si môžeme zapísať: 100 % = 40 eur.

Existuje viacero spôsobov, ako to vypočítať. Jeden z najuniverzálnejších postupov je takzvaný „prechod cez 1 %“. Je to podobné, ako keď pri zlomkoch zisťujeme hodnotu jedného dielika. Aby sme teda zistili hodnotu 1 %, musíme náš celok (40 eur) jednoducho vydeliť 100. Je to preto, že 100 % sa skladá presne zo sto takýchto jednopercentných dielikov. Teda: 40 : 100 = 0,40 eura (čo je 40 centov).

Tvoja zľava na hru je 20 %. Ak už teda vieš, že 1 % má hodnotu 0,40 eura, aký matematický výpočet urobíš teraz, aby si získali hodnotu pre tých 20 %? Keď už vieš, že 1 % = 0,40 eura, hodnotu tvojej 20 % zľavy zistíš jednoducho tak, že toto jedno percento vynásobíš dvadsiatimi: 0,40 * 20 = 8 eur. Takže zľava na hru je 8 eur a jej nová cena je teda 40 – 8 = 32 eur.

2. Výpočet počtu percent

Predstav si typickú školskú situáciu: Test z matematiky obsahoval celkovo 25 úloh. Tvoj kamarát vyriešil správne 18 z nich. Aká bola je percentuálna úspešnosť?

Ak by si mal jeho úspešnosť zapísať najskôr v tvare obyčajného zlomku (časť z celku), ako by tento zlomok vyzeral? Najskôr si napísal zlomok v tvare 18/25, ktorý vyjadruje príslušnú časť z celku. Keď tento zlomok následne vynásobíš 100, dostaneš priamo odpoveď – percentuálnu úspešnosť: 18/25 = 18 : 25 = 0,72 * 100 = 72 %. Takže kamarát v teste dosiahol percentuálna úspešnosť 72 %.

3. Výpočet celku z jeho časti

Máme nasledujúcu situáciu: Na škole je 60 žiakov, ktorí chodia na športový krúžok. Vieš, že títo žiaci tvoria presne 30 % všetkých žiakov školy. Tvojou úlohou je zistiť, koľko žiakov má škola celkovo – teda hľadáš našich 100 %.

Základný zápis vyzerá takto: 30 % = 60 žiakov. Opäť tu vieme elegantne využiť metódu „prechodu cez 1 %“, ktorú sme si ukázali pri prvom type úloh. Ak 30 dielikov (percent) predstavuje 60 žiakov, akým matematickým krokom by si zistil, koľko žiakov sa skrýva v jednom jedinom percente? Ak 30 dielikov je 60 žiakov, jeden dielik zistíš delením: 60 : 30 = 2 žiaci. A pokračuješ ďalej: ak má 1 % hodnotu 2, celá škola má teda 2 * 100 = 200 žiakov.

Trojčlenka

V prípade počítania percent existuje ešte jeden postup – trojčlenka. Je to absolútna klasika a pre mnohých študentov funguje ako najspoľahlivejší a najuniverzálnejší nástroj na akýkoľvek percentuálny príklad. Doplňme ju teda do nášho prehľadu ako rovnocennú a veľmi dôležitú metódu.

Percentá vždy fungujú na princípe priamej úmernosti – koľkokrát narastie počet percent, toľkokrát narastie aj samotná hodnota. Preto ich môžeme zapísať do prehľadnej schémy so šípkami, ktoré sú orientované rovnakým smerom. Ukážeme si to na vyššie riešenom prípade výpočtom počtu žiakov v škole.

V príklade sú známe dve hodnoty – 60 žiakov tvorí 30 % všetkých žiakov, vypočítavame hodnotu pre 100 %. Tieto zapíšeme do grafickej štruktúry nasledovne:

Šipky označujú smer zápisu hodnôt do vytváranej rovnice, začíname so znakom „x“, pokračujeme hodnotou 60, potom hodnotou 100 a končíme hodnotou 30 – x : 60 = 100 : 30. Rovnicu upravíme tak, že zoskupíme hodnoty na jej okraji na jednu stranu a hodnoty vo vnútri na druhú stranu, teda x * 30 = 60 * 100 a po úprave 30 * x = 6000. Riešením rovnice je potom výsledok x = 200, čo je hľadaný celkový počet žiakov.

V predchádzajúcich článkoch venovaných príprave na matematickú časť prijímačiek bol na konci každého z nich ponúknutý pracovný zošit s konkrétnymi príkladmi k preberanej oblasti. Nie je tomu inak ani teraz. V súbore Pracovný zošit – percentá je pripravených 20 príkladov spolu s ich riešeniami a výsledkami, na ktorých si môžeš uvedené postupy precvičiť. A ešte jedna cenná rada. Ak sa pri počítaní príkladu zasekneš, skús si odpovedať na otázky: „Čo v tomto príklade predstavuje tvojich 100 %?“ , resp. „Čo predstavuje 1 %?“. To zvyčajne stačí na to, aby sa vám matematika v hlave opäť rozbehla.

Týmto článkom sme ukončili zverejňovanie súboru matematických pomôcok, ktoré môžete pri svojej príprave na prijímačky použiť. Dúfam, že všetky materiály ste si podrobne preštudovali, príklady poctivo vypočítali a na svoje prijímačky ste dostatočne pripravení. Takže zostáva len popriať vám všetkým ich úspešné absolvovanie a od septembra nástup do vami zvolenej strednej školy.